FAQ

ルリグのリミットを超えたことによってこのシグニをトラッシュに置いたり、リムーブ（メインフェイズに１回、自分の場のシグニを好きな数トラッシュに置く）でこのシグニをトラッシュに置いた場合、自動能力は発動しますか？

いいえ、どちらもできません。リミットを超えたことによってトラッシュに置くのはルール処理で、リムーブはメインフェイズの行動となり、どちらもコストや効果ではありません。

対戦相手の《羅星姫 リーブラー》の起動能力で「このターン、対戦相手のシグニがバニッシュされる場合、エナゾーンに置かれる代わりにトラッシュに置かれる。」となっている状況です。このシグニがバトルでバニッシュされると自動能力は発動できますか？

いいえ、発動できません。
《羅星姫 リーブラー》の起動能力はあくまでカードの移動先を変更しているだけですので、実際にカードを移動させたのはバトルによるバニッシュです。
同じ状況で対戦相手の効果によってこのシグニのパワーが0になっても、このシグニをトラッシュに移動させたのは効果やコストではなくルール処理ですので、このシグニの自動能力は発動しません。